2.1 최대 인장철근단면적

철근콘크리트 휨부재는 파괴될 때 연성거동을 하기 위해 콘크리트의 압축파괴 이전에 인장철근이 먼저 항복하는 저보강 단면이어야 한다. 즉, 인장철근 단면적을 임의의 한계값 이하로 배치하여야 한다. 이를 위해 압축연단의 콘크리트가 극한변형률($\epsilon_{cu}=0.0033$)에 도달할 때 인장철근이 변형률 최소 한계값 $\epsilon_{t,\: \min}$ 이상이 되도록 식 (1)과 같이 규정한다. 이전 2003년 콘크리트 구조설계기준^{(KCI 2003)}에서는 휨부재의 최대철근비를 균형단면의 철근비에 해당하는 균형철근비의 75 %로 최대철근비 $\rho_{\max}$를 규정하였다. 이후 콘크리트 학회기준^{(KCI 2017)}과 콘크리트 구조기준^{(KCI 2012)}에서는 휨부재의 최소 허용변형률을 철근의 항복강도가 400 MPa 이하인 경우 0.004로 하고, 철근의 항복강도가 400 MPa을 초과하는 경우 철근 항복변형률의 2배로 규정하고 있다.

2.2 인장지배한계 인장철근단면적

콘크리트 학회기준^{(KCI 2017)}과 콘크리트 구조기준^{(KCI 2012)}에서는 압축연단 콘크리트가 극한변형률 $\epsilon_{cu}$에 도달할 때 최외단 인장철근의 순인장변형률 $\epsilon_{t}$가 0.005의 인장지배변형률 한계 이상인 단면을 인장지배단면(tension controlled section)으로 규정하고 이에 해당하는 철근비($\rho_{t.c.}$)는 식 (2)와 같이 규정하고 있다. 다만, 철근의 항복강도가 400 MPa을 초과하는 경우에는 인장지배변형률 한계를 철근 항복변형률의 2.5배로 한다. 이러한 인장지배변형률 한계 이상을 보이는 단면은 연성단면으로 강도감소계수 $\phi =0.85$를 적용한다. 순인장변형률 $\epsilon_{t}$가 압축지배변형률 한계와 인장지배변형률 한계 사이인 단면은 변화구간 단면으로 강도감소계수를 직선보간하여 결정하도록 하고 있다.

2.3 최소 인장철근단면적

매우 적은 양의 인장철근이 배치된 부재는 인장 콘크리트의 균열과 동시에 인장철근의 응력이 급격히 증가하여 소성상태가 되어 급격한 파괴가 진행된다. 이를 방지할 목적으로 콘크리트 학회기준^{(KCI 2017)}과 콘크리트 구조기준^{(KCI 2022)}에서는 인장철근 보강이 요구되는 휨부재의 모든 단면에 대하여 설계휨강도가 식 (3)의 조건을 만족하도록 최소한의 인장철근을 배치하도록 규정하고 있다.

여기서, $M_{n}$은 공칭강도이고 $M_{cr}$은 균열모멘트이다. 최소철근량은 인장측 연단의 파괴계수 $f_{r}=0.63\sqrt{f_{ck}}$에 해당하는 균열모멘트를 구하고 철근량에 대한 2차 방정식을 이용하여 구할 수 있다.

3.1 콘크리트 압축응력-변형률 관계

철근콘크리트 보의 해석을 위해 일반적으로 역학에서 통용되는 다음과 같은 가정을 사용하였다.

(1) 평면상태의 단면은 변형 후에도 평면을 유지하고 전단변형은 무시한다.

(2) 철근콘크리트 휨부재의 강도해석을 위한 콘크리트의 응력-변형률 관계는 Fig. 1과 같은 포물선-사각 곡선(parabola-rectangle diagram, p-r곡선)으로 극한한계상태에서 압축 콘크리트의 응력-변형률 분포를 다음 식 (4)와 같이 규정한다.

여기서, $\epsilon_{co}$는 최대응력에 처음 도달할 때의 변형률

$\epsilon_{cu}$는 극한 변형률

$n$은 응력-변형률곡선의 상승구간의 형상계수

이 연구에서는 콘크리트 압축강도 35 MPa 이하의 일반강도에 대해 콘크리트 구조설계기준에 따라 응력-변형률 곡선에서 상승구간의 형상을 나타내는 계수 $n$은 2.0, 최대 응력에 처음 도달할 때의 변형률 $\epsilon_{co}$은 0.002, 한계변형률 $\epsilon_{cu}$는 0.0033을 적용하였다.

(3) 철근은 Fig. 2와 같은 완전 선형탄성-완전소성의 응력-변형률 곡선으로 변형률 경화는 무시하였다.

(4) 콘크리트의 인장강도는 무시하고 철근과 콘크리트는 완전 부착되는 것으로 가정한다.

3.2 곡률연성도

일반적으로 연성은 철근콘크리트 부재가 극한하중에 도달한 이후 급격한 하중저항능력(load-carrying capacity)의 감소없이 변형을 지속하는 능력을 의미한다. 이 연구에서는 단면의 곡률에 근거한 곡률연성도(curvature ductility factor)를 분석하였으며 곡률연성도 $\mu_{\phi}$는 식 (5)와 같이 정의하였다.

여기서, $\phi_{y}$와 $\phi_{u}$는 각각 인장철근의 항복과 파괴 시 곡률을 의미한다. 단철근보의 곡률연성도는 콘크리트 및 철근의 강도 및 인장철근비에 영향을 받으며 인장철근비에 가장 큰 영향을 받는다^{(Arslan and Cihanli 2010)}.

3.3 해석변수

이 연구에서는 직사각형단면 철근콘크리트 부재의 변형능력을 조사하기 위해 폭 300 mm, 유효높이 500 mm, 높이 550 mm 단면의 부재를 선정하고 콘크리트의 압축강도는 $f_{ck}$=21, 24, 27, 30, 35 MPa의 일반강도를 갖는 5종류의 콘크리트로 선정하였다. 콘크리트 구조기준^{(KCI 2022)}에서 휨부재나 압축부재의 주철근에 대하여 설계기준항복강도를 최대 600 MPa로 제한하고 있으므로 철근은 항복응력 $f_{y}$=300, 400, 500, 600 MPa의 4종류의 철근을 이용하였다.

과거에는 철근콘크리트 휨부재의 연성을 확보하기 위하여 인장철근비를 제한하였다. 그러나 최근에는 인장철근의 최소허용 인장변형률로 제한하고 있다. 따라서 이 연구에서는 철근의 최소허용 인장변형률, 인장지배 한계변형률 등 각 변형률에 따른 철근량이 배근된 단면에 대하여 해석을 수행하였다.

3.4 인장철근량 산정

2장에서 기술한 바와 같이 최대철근비 및 인장지배한계 철근비는 최외단 인장철근의 순인장변형률 규정에 따라 식 (1), (2)로 계산된다. 이 연구에서는 철근의 항복강도에 따른 최대철근비($\epsilon_{t}= 0.004$ 또는 $2\epsilon_{y}$) 이상의 순인장변형률에 해당하는 철근비가 배근된 단면에 대하여 해석을 수행하였다. 순인장변형률에 해당하는 철근비는 식 (6)과 같이 계산하였다.

여기서, $\beta_{1}$은 콘크리트강도 50 MPa 이하에서 0.8을 적용하고 $\epsilon_{s,\: t}$는 철근의 순인장변형률이다.

이 연구에서는 최대철근비, 인장지배변형률 한계에 해당하는 철근비, 최소철근비에 대하여 해석을 수행하고 인장변형률을 0.003씩 증가시켜 0.021까지 각 철근비에 대하여 해석을 수행하였다. 단면해석은 ^{INCA2 (2022)} 프로그램을 이용하였다.

4.1 철근비에 따른 모멘트-곡률 관계

콘크리트 강도 27 MPa 및 철근의 항복강도 400 MPa의 단철근 직사각형 단면의 휨부재에서 철근의 순인장변형률 $\epsilon_{t}=\epsilon_{y}=0.002$(균형철근비, $\rho_{b}$), $\epsilon_{t}=0.004$(최대철근비, $\rho_{\max}$), $\epsilon_{t}=0.0045$, $\epsilon_{t}=0.005$(인장지배변형률한계, $\rho_{t.c.}$), $\epsilon_{t}=0.0055$에 해당하는 철근량과 $M_{d}=1.2M_{cr}$에 해당하는 최소철근량에 대하여 각각의 모멘트-곡률 관계를 Fig. 3에 나타내었다.

콘크리트의 인장강도를 무시하므로 전형적인 Bilinear 형태를 보이며 곡률 약 0.0074(rad/m)까지 모멘트-곡률 관계는 선형과 유사하게 비례관계를 보이다가 인장철근의 항복 이후 기울기가 급격히 감소한다. 기존 문헌^{(Lee 2023)}과 연구결과^{(Lee 2013)}에서와 같이 인장철근량이 작을수록 선형에 더 가까운 형태를 보이고 인장철근 항복 이후 파괴 시까지 소성변형능력(plastic rotation capacity)이 큰 것으로 조사되었다. 연성능력은 배근된 철근의 최대인장변형률에 비례함을 알 수 있고 인장변형률이 작을수록 즉, 철근량이 증가할수록 낮은 연성능력을 보인다.

4.2 콘크리트 강도에 따른 곡률연성도

Fig. 4에 콘크리트 구조기준^{(KCI 2012)}에 따라 인장철근의 최소허용인장변형률 $\epsilon_{t}= 0.004$에 해당하는 최대철근이 배근된 콘크리트 부재 및 2003년 콘크리트 구조설계기준^{(KCI 2003)}에 따라 균형철근비의 75 %에 해당하는 최대철근이 배근된 콘크리트 부재의 콘크리트 강도에 따른 철근량과 곡률연성도를 비교하였다. 콘크리트의 압축강도가 증가할수록 식 (1)에 따라 철근량이 증가하고 곡률연성도는 거의 일정한 것으로 조사되었다. 개정된 콘크리트 구조기준^{(KCI 2012)}을 과거 기준^{(KCI 2003)}과 비교하면 철근량은 감소하고 곡률연성도는 다소 크게 나타났다. ^{KCI 2003}을 적용한 경우 콘크리트 강도 30, 35 MPa에서 철근량 증가비율이 다소 감소하고 곡률연성도는 소폭 증가하였다. 이는 콘크리트의 설계기준강도가 28 MPa 이상에서 $\beta_{1}$의 값을 감소시켜 적용하기 때문이다.

4.3 철근의 항복강도에 따른 곡률연성도

Fig. 5는 콘크리트 설계강도 $f_{ck}=$27 MPa인 철근콘크리트 휨부재에서 철근의 항복강도 별 철근비와 균형철근비의 비율($\rho /\rho_{b}$)에 따른 곡률연성도를 나타내었다. 철근비-균형철근비의 비율이 증가할수록 연성능력은 낮게 나타나며 $\rho /\rho_{b}>$$0.5$의 구간에서는 선형에 가까운 관계를 보이고 $\rho /\rho_{b}<0.5$의 구간에서는 곡선의 형태를 보인다. 같은 $\rho /\rho_{b}$에서 철근의 항복강도가 클수록 낮은 연성능력을 보이고 최대 연성능력을 보이는 철근비-균형철근비의 비율은 철근의 항복강도가 클수록 크다. $f_{y}=$300 MPa에서는 $\rho /\rho_{b}=19.75%$에서 $\mu_{\phi}$=12.5를 보이고 더 낮은 철근량에서도 연성이 크게 증가하지 않은 경향을 보인다.

$f_{y}=$600 MPa에서는 $\rho /\rho_{b}=25.93%$에서 $\mu_{\phi}$=7.14를 보이고 과소 철근콘크리트 휨부재에서 연성능력은 철근의 항복강도에 영향을 받는 것으로 조사되었다. 이는 항복변형률이 철근의 항복강도에 비례하여 크기 때문이다.

4.4 철근량에 따른 곡률연성도

2장에서 기술한 바와 같이 인장철근량에 대한 규정은 최외단 인장철근의 순인장변형률을 기준으로 하고 있다. 따라서, 인장철근의 극한변형률/항복변형률의 비($\epsilon_{s,\: t}/\epsilon_{y}$)를 변수로 하고 각각의 비에 해당하는 철근량을 기준으로 곡률연성도를 분석하였다. 앞서 4.2절에서 언급한 바와 같이 콘크리트의 강도에 따른 곡률연성도는 철근의 인장변형률을 기준으로 할 경우 일정한 것으로 조사되었다. 콘크리트강도 $f_{ck}=$27 MPa을 갖는 휨부재에 대하여 극한변형률/항복변형률($\epsilon_{s,\: t}/\epsilon_{y}$)에 따른 곡률연성도를 Fig. 6에 나타내었다.

철근의 항복강도 $f_{y}=$300 MPa인 경우 최대철근비에 해당하는 최소허용인장변형률 $\epsilon_{t,\: \min}$=0.004의 경우 항복변형률이 0.0015이므로 $\epsilon_{s,\: t}/\epsilon_{y}$는 0.004/0.0015=2.67에 해당한다. Table 2에 철근의 항복강도 별 $\epsilon_{s,\: t}/\epsilon_{y}$에 따른 곡률연성도 해석결과를 나타내었다.

Fig. 6에서 알 수 있는 바와 같이 극한변형률/항복변형률의 비($\epsilon_{s,\: t}/\epsilon_{y}$)와 곡률연성도는 선형관계를 보이고 철근의 항복강도가 클수록 최대연성능력은 감소하였다. 또한, 철근의 항복강도의 증가에 따라 그 기울기가 다소 증가함을 알 수 있다.

4.5 곡률연성도 제안식 평가

4.4절의 철근량에 따른 곡률연성도를 회귀분석을 통하여 $\epsilon_{s,\: t}/\epsilon_{y}$에 대한 1차 함수로 다음 식 (7)과 같이 철근의 항복강도별로 계산하였다. 또한 $\epsilon_{s,\: t}/\epsilon_{y}$와 곡률연성도의 상관관계는 $R^{2}$값이 0.999 이상으로 매우 높은 것으로 나타났다. 식 (7)은 철근의 항복강도에 따라 최대 곡률연성의 범위 내에서 적용될 수 있으며 콘크리트의 극한변형률 $\epsilon_{cu}= 0.0033$일 때 철근의 인장변형률을 구하고 항복변형률의 비에 따라 곡률연성도를 간단하게 계산할 수 있어 철근콘크리트 휨부재의 설계에 유용하게 활용할 수 있을 것으로 판단된다.

제안된 식 (7)을 ^{Park and Paulay (1975)}의 휨연성지수 공식, ^{Arslan and Cihanli (2010)}의 제안식 및 ^{Pam et al. (2001)}의 제안식과 비교하였다. 곡률 $\phi_{y}$는 콘크리트의 압축응력을 선형분포로 가정하고 콘크리트의 인장응력은 무시하고 탄성이론에 의해 구할 수 있다. 극한상태에서의 곡률 $\phi_{u}$는 콘크리트의 응력분포를 등가직사각형 응력분포로 가정하여 구하였다. 단철근 직사각형보의 경우 압축철근비 $\rho'$은 0이므로 ^{Park and Paulay (1975)}의 휨연성지수 공식은 다음 식 (8)과 같이 쓸 수 있다.

여기서, $\epsilon_{cu}$는 콘크리트의 극한변형률, $n$은 철근과 콘크리트의 탄성계수비, $\beta_{1}$은 극한상태에서 콘크리트 압축응력의 깊이와 중립축까지 거리 비이다.

Fig. 7에서 콘크리트의 강도 $f_{ck}=$27 MPa을 갖는 휨부재에 대하여 콘크리트 강도가 50 MPa보다 작으므로 $\beta_{1}$= 0.8, 철근의 탄성계수 $E_{s}=2\times 10^{5}{MPa}$, 콘크리트의 탄성계수는 ^{KCI (2012)}에 따라 $E_{c}=8,\: 500\sqrt[3]{f_{cu}}$를 적용하였다. 그 결과 탄성계수비 $n = E_{s}/E_{c}$= 7.49로 계산되었다. 다만, ^{Park and Paulay (1975)}에서는 콘크리트의 극한변형률 $\epsilon_{cu}$를 0.004로 적용하였으나 비교를 위해 ^{KCI (2012)}에 따른 $\epsilon_{cu}$= 0.0033을 적용하였다.

^{Arslan et al. (2010)}은 곡률연성도는 콘크리트의 강도에 따른 영향은 크지 않고 철근비에 따른 영향이 큰 것으로 평가하고 철근비와 균형철근비의 비 및 콘크리트의 강도, 철근의 항복강도를 변수로 다음 식 (9)와 같이 곡률연성도 식을 제안하였다.

여기서, $\rho$ 및 $\rho_{b}$는 철근비 및 균형철근비, $f_{c}$와 $f_{y}$는 콘크리트와 철근의 항복강도이다.

^{Kwan et al. (2002)}은 콘크리트의 강도가 같을 경우 인장철근비가 증가할수록, 압축철근비가 감소할수록 곡률연성도는 감소하는 것으로 보고하였다. 또한, 동일한 철근비에서 콘크리트의 강도가 증가할수록 곡률연성도는 약간 증가하나 보다 큰 고강도 콘크리트를 사용할 경우 연성도는 감소하는 것으로 보고하였다. 특히, 곡률연성도는 철근비에 지배적인 영향을 받고 콘크리트의 강도 증가로 균형철근비가 증가하여 $\rho /\rho_{b}$는 감소하나 콘크리트의 취성으로 인해 곡률연성도가 상쇄된다고 보고하였다. 그리고 다음 식 (10)과 같이 곡률연성도를 콘크리트의 강도 및 철근비와 균형철근비의 비를 변수로 제안하였다.

여기서, $f_{co}$는 콘크리트의 강도, $\rho$ 및 $\rho_{b}$는 철근비 및 균형철근비이다.

Fig. 7 및 Fig. 8에 철근의 항복강도 400 MPa 및 600 MPa의 철근콘크리트 휨부재의 곡률연성도를 기존 연구결과와 각각 비교하였다. 최대철근비 및 인장지배 변형률 한계에서와 같이 철근비가 상대적으로 큰 경우에는 Fig. 7 및 Fig. 8에서와 같이 비교적 곡률연성도가 유사한 결과를 보이고 철근비가 낮을수록 즉, $\epsilon_{s,\: t}/\epsilon_{y}$가 클수록 연구결과에 따라 곡률연성도의 차이가 커지는 것으로 조사되었다.

Fig. 7 및 Fig. 8에서 나타낸 바와 같이 ^{Kwan et al. (2002)}의 제안식이 곡률연성도를 가장 높게 평가하였으며 이 연구의 제안식은 ^{Arslan and Cihanli (2010)}의 연구결과 보다는 작게 ^{Park and Paulay (1975)}의 결과보다 다소 크게 조사되었다.