2.1 곡률 연성비

Pam et al.(2001a, 2001b)^(10,11)은 비선형 해석을 이용하여 NWC 보에서 콘크리트 압축강도($f_{ck}$)와 주철근비($\rho_{s}$)에 따른 균형철근비($\rho_{b}$)를 산정하였으며, 이로부터 RC 보의 $\mu_{\phi}$를 다음과 같이 제안하였다.

여기서, $\rho_{s}^{'}$는 압축철근비를 의미한다. 식(3)에서 나타낸 바와 같이 Pam et al.(2001a, 2001b)^(10,11)의 모델은 $f_{ck}$와 $\rho_{s}/\rho_{b}$로 RC 보의 연성을 평가하고 있다. 따라서 이 모델은 NWC 보보다 낮게 평가되는 LWAC 보의 소성회전능력을 고려할 수 있는 함수를 포함하고 있지 않다.

Arslan and Cihanli(2010)⁽²⁾은 50 MPa 이상의 $f_{ck}$를 갖는 NWC 보에서의 $\mu_{\phi}$를 다음과 같이 제안하였다.

여기서, $f_{y}$는 주철근의 항복강도를 의미한다. 식(4)에 나타낸 바와 같이 Arslan and Cihanli(2010)⁽²⁾의 모델은 $f_{ck}$, $\rho_{s}/\rho_{b}$ 및 $f_{y}$의 함수를 포함하고 있는데, Pam et al.(2001a, 2001b)^(10,11)에 의해 제시된 식(3)과 비슷한 형태를 가지고 있다. Arslan and Cihanli(2010)⁽²⁾의 모델도 NWC 보보다 낮게 평가되는 LWAC 보의 소성회전능력을 반영할 수 있는 함수를 포함하고 있지 않다. 이와 같이 Pam et al.(2001a, 2001b)^(10,11) 및 Arslan and Cihanli (2010)⁽²⁾의 모델들은 NWC 보의 실험결과에 기반하여 제시하고 있어 LWAC 보의 소성회전능력을 과대평가할 가능성이 높다.

2.2 변위 연성비

Yang et al.(2020a)⁽²⁰⁾은 구축된 데이터베이스의 분석을 통하여 LWAC 보의 $\mu_{\Delta}$가 NWC 보보다 낮게 있음을 강조하였다. 또한 2경간 LWAC 보의 $\mu_{\Delta}$는 실험결과의 회귀분석으로부터 주철근 지수($\omega_{s}=\rho_{s}f_{y}/f_{ck}$)의 함수로 다음과 같이 평가될 수 있음을 보였다.

식(5)에서 나타낸 바와 같이 Yang et al.(2020a)⁽²⁰⁾의 모델도 $\omega_{s}$의 함수로 제시되고 있기 때문에 Pam et al.(2001a, 2001b)^(10,11) 및 Arslan and Cihanli(2010)⁽²⁾의 모델에서 적용된 동일한 함수를 포함하고 있다. 하지만, Yang et al.(2020a)⁽²⁰⁾의 모델은 제한적인 변수범위를 갖는 12개의 2경간 LWAC 보 실험결과에 기반하여 제시되었다. 특히, 이 모델도 NWC 보보다 낮게 평가되는 LWAC 보의 소성회전능력을 반영할 수 있는 함수를 포함하고 있지 않다.

3.1 기본 방정식

T형 단순보의 항복상태와 최내내력 시점에서 중립축 깊이는 대부분 플랜지 내(Yang et al. 2020b)⁽¹⁹⁾에 있다. 또한 연속보의 경우 소성힌지는 플랜지의 인장저항이 무시되는 장방형 단면의 부모멘트 영역에서 우선 형성된다. 따라서 이 연구에서는 플랜지를 무시한 장방형 보의 단면에서 $\mu_{\phi}$와 $\mu_{\Delta}$의 기본 방정식을 유도하였다. 식(1)의 $\phi_{n}$와 $\phi_{y}$는 위험단면에서 구성 재료들의 변형률 및 중립축 깊이로부터 다음과 같이 정리할 수 있다(Park and Paulay 1975)⁽¹²⁾.

여기서, $c_{y}$와 $c_{n}$은 각각 항복상태 및 최대내력상태에서의 중립축 깊이를, $\epsilon_{sy}$와 $\epsilon_{cu}$는 각각 항복상태에서 주철근의 항복변형률과 최대내력상태에서의 콘크리트 압축연단 극한변형률을, $d_{s}$는 주철근의 깊이를 의미한다. Fig. 1에는 항복 및 최대내력 시점에서 장방형 보단면의 각 구성 재료들의 변형률과 응력분포를 나타내었다. 항복상태에서는 주철근의 변형률이 항복에 도달하기 직전의 상태이므로 압축존의 콘크리트의 응력이 탄성상태에 있을 가능성이 높다(Yang et al. 2014)⁽¹⁸⁾. 따라서 압축존의 콘크리트의 응력을 단면 깊이에 따라 선형 분포한다는 가정과 함께 힘의 평형조건으로부터 $c_{y}$는 다음과 같이 정리할 수 있다.

여기서, $b_{w}$는 보의 폭을, $E_{c}$와 $E_{s}$는 각각 콘크리트와 철근의 탄성계수를, $A_{s}^{'}$와 $d^{'}$는 각각 압축철근의 단면적 및 깊이를, $A_{s}$는 주철근의 단면적을 의미한다. 식(6)에서 $c_{n}$은 최대내력 상태에서 각 구성 재료들의 변형률 분포 및 힘의 평형조건으로부터 다음과 같이 정리할 수 있다.

여기서, $\beta_{1}$는 등가응력블록의 깊이계수를 의미한다. 이에 따라 식(6)~(8)로부터 RC 보의 $\mu_{\phi}$를 계산할 수 있다. 한편, 식(2)에서 $\Delta_{y}$와 $\Delta_{n}$은 보 길이에 따라 이상화된 곡률분포(Fig. 2)와 등가소성힌지길이($L_{p}$)를 모멘트 면적법을 이용하여 다음과 같이 산정할 수 있다.

식(9)에서 $L_{p}$는 다음의 식에서 제시하고 있는 Priestley and Park(1987)⁽¹⁴⁾의 모델을 이용하였다.

여기서, $a_{s}$는 전단경간을, $d_{b}$는 주철근의 직경을 의미한다. 이에 따라 식(2), (9) 및 (10)으로부터 RC 보의 $\mu_{\Delta}$를 계산할 수 있다. 결과적으로 $\mu_{\phi}$와 $\mu_{\Delta}$는 $c_{y}$와 $c_{n}$에 직접적으로 결정되기 때문에 콘크리트와 철근의 역학적 특성에 현저한 영향을 받음을 알 수 있다(Lee 2013; Yang et al. 2014)^(8,18). 따라서 응력-변형률 관계에서 NWC보다 최대응력 이후 취성적인 경향을 $\beta_{1}$(Yang et al. 2013)⁽²¹⁾에 반영한다면, LWAC 보의 연성은 NWC 보보다 낮게 평가될 가능성이 높다(Yang et al. 2020a)⁽²⁰⁾.

3.2 주요 변수영향 평가

Fig. 3에는 RC 보의 동일한 단면상세에서 콘크리트의 단위용적중량($\rho_{c}$)에 따른 $\mu_{\phi}$ 및 $\mu_{\Delta}$를 나타내었다. 적용된 변수범위는 $\omega_{s}$가 0.125~0.25, $\rho_{c}$가 1,400~2,300 kg/m³이었으며, $f_{ck}$와 $f_{y}$는 24 MPa와 400 MPa로, 압축철근 지수($\omega_{s}^{'}$)와 $a_{s}/d_{s}$는 각각 0 및 4로 고정하였다. 철근 콘크리트(RC) 보의 $\mu_{\phi}$와 $\mu_{\Delta}$는 $\rho_{c}$가 39 % 감소할 때 각각 47 % 및 28 % 감소하였다. 또한, 그 감소 기울기는 $\omega_{s}$가 감소함에 따라 더 현저하였다. 단위용적중량($\rho_{c}$)이 1,400 kg/m³인 RC 보의 $\mu_{\phi}$와 $\mu_{\Delta}$는 $\omega_{s}$가 0.125일 때 0.25로 증가할 때 각각 47 % 및 76 % 감소하였다. 이는 $\omega_{s}$의 감소가 압축존을 키워 RC 보의 연성에 미치는 콘크리트의 역학적 특성의 영향이 더욱 커졌기 때문이다. 따라서 LWAC 보의 $\mu_{\phi}$와 $\mu_{\Delta}$의 모델은 NWC보다 낮은 역학적 특성의 영향을 고려하는 $\rho_{c}$의 함수를 반드시 고려하여야 한다.

3.3 모델의 단순화

3.1절에서 제시된 바와 같이 $\mu_{\phi}$와 $\mu_{\Delta}$는 식(6)~(10)로부터 산정하여야 하므로 그 계산과정이 매우 복잡하다. 따라서 이 모델들은 단순식으로 일반화되었는데, 변수연구에서 얻어진 결과인 $\omega_{s}$가 증가하거나 $\rho_{c}$가 감소함에 따라 감소하는 연성의 영향을 반영하였다. 적용된 변수범위는 $\omega_{s}$가 0.03~0.5, $\omega_{s}^{'}$가 0~0.005, $\rho_{c}$가 1,400~2,300 kg/m³이다. $\mu_{\phi}$와 $\mu_{\Delta}$는 주요 영향 변수인 $\omega_{s}$와 $\rho_{c}$를 함수로 선정하였으며, 각각 반비례와 비례 관계로 조합하였다. 결과적으로 단순식은 이들의 주요영향 변수들을 반복적으로 조합하면서 상관계수가 가장 높은 때로 산정하였으며, 그 식은 다음과 같다(Fig. 4).

여기서, $\rho_{o}$는 단위용적중량의 참고값(2,300 kg/m³)을 의미한다. 결과적으로 LWAC 보의 $\mu_{\phi}$와 $\mu_{\Delta}$는 식 (11)과 (12)에 제시된 바와 같이 $\rho_{c}$의 함수를 포함함으로서 NWC 보와 LWAC의 보의 연성을 합리적으로 예측할 수 있다.

4.1 데이터베이스 구축

제시된 $\mu_{\phi}$와 $\mu_{\Delta}$는 설계식으로의 신뢰성을 검증하기 위해서 휨으로 지배된 RC 보의 실험결과들(Shin 1988; Ahmad and Barker 1991; Park and Kim 1999; Han et al. 2001; Maghsoudi and Bengar 2006; Jung et al. 2007; Sin et al. 2011; Carmo et al. 2013; Bernardo et al. 2016; Im et al., 2020; Yang et al. 2020b)^{(1,3-7,9,13,15,16,19)}을 데이터베이스화 하였는데, $\mu_{\phi}$에 대한 실험결과가 매우 미미하였다. 따라서 이장에서 제시된 데이터베이스는 $\mu_{\Delta}$에 대한 실험결과만을 가지고 제안모델의 신뢰성을 평가하였다. 데이터베이스화된 실험결과들은 $\rho_{s}$가 0.002~0.077, $\rho_{s}'$가 0~0.017, $\rho_{c}$가 1,578 kg/m³~2,400 kg/m³, 전단경간-깊이비($a_{s}/d_{s}$)가 2.9~6.7 및 $f_{ck}$가 20~115 MPa의 범위에 있었다. Fig. 5에 나타낸 바와 같이 LWAC 보에서는 $\rho_{s}$가 0.01~0.02, $f_{ck}$는 40~60 MPa, $a_{s}/d_{s}$가 2.5~4의 범위가 대부분이었다. 또한, NWC에서는 $\rho_{s}$가 0.003~0.02, $f_{ck}$는 20~40 MPa, $a_{s}/d_{s}$가 4~5.5의 범위가 대부분이었다.

4.2 실험결과와의 비교

이전의 절에서 구축된 실험결과와 제시된 모델들과의 비교를 위해서 Pam et al.(2001a, 2001b)^(10,11)과 Arslan and Cihanli(2010)⁽²⁾의 모델들은 식(10)에 식(9)를 대입한 후 식(2)를 이용하여 $\mu_{\Delta}$로 환산하였다. Fig. 6에는 기존 모델 및 이 연구에서 제시된 모델에 의한 예측값과 실험값의 비들의 평균($\gamma_{m}$) 및 표준편차($\gamma_{s}$)를 나타내었다. Pam et al.(2001a, 2001b)^(10,11)의 모델은 $\mu_{\Delta}$를 불안전측으로 예측하였는데, 그 불안전측의 정도는 $\rho_{c}$가 감소함에 따라 증가하였다. 결과적으로 실험결과와의 비교에서 Pam et al.(2001a, 2001b)^(10,11)의 모델의 $\gamma_{m}$는 LWAC 보에서 0.42로서 NWC 보보다 약 27 % 낮았다. Arslan and Cihanli (2010)⁽²⁾의 모델도 Pam et al.(2001a, 2001b)^(10,11)의 모델과 비슷한 경향을 나타내었다. 실험결과와의 비교에서 Arslan and Cihanli (2010)⁽²⁾의 모델의 $\gamma_{m}$는 LWAC 보와 NWC 보에서 각각 0.77 및 0.79이었다. 반면, Yang et al.(2020a)⁽²⁰⁾의 모델은 대부분의 실험결과를 안전측으로 예측하였는데, 그 안전측의 정도가 NWC 보에서 현저하게 높았다. 실험결과와의 비교에서 Yang et al.(2020a)⁽²⁰⁾의 모델의 $\gamma_{m}$은 LWAC 보와 NWC 보에서 각각 2.14 및 2.16이었다. 이와 같이 기존 제안모델들은 $f_{ck}$와 철근비에 관련된 함수($\rho_{s}$, $\rho_{b}$ 및 $\rho_{s}^{'}$)만을 포함하고 있어 콘크리트의 종류에 따라 변화되는 RC 보의 연성을 고려하지 못하고 있다. 이에 반해, 제안모델은 $\rho_{c}$와 철근비에 관련된 함수에 관계없이 $\gamma_{m}$ 및 $\gamma_{s}$가 각각 0.98 및 0.20으로서 RC 보의 $\mu_{\Delta}$를 대체로 잘 예측하였다. 이때 LWAC 보에서 $\gamma_{m}$와 $\gamma_{s}$는 각각 0.94 및 0.20이었으며, NWC 보에서는 각각 1.02 및 0.20이었다. 따라서 RC 보의 $\mu_{\Delta}$는 $\rho_{c}$의 함수의 반영으로 LWAC 보에서 낮게 평가되는 연성을 잘 예측할 수 있다.